Главная Статьи Новости Обратная связь Форум                              Каталог статей 1   Каталог статей 2

 

Навигация

Случайная статья

Фазы Луны

19:21 15.Окт.2014

21:57 23.Окт.2014

02:40 31.Окт.2014

22:24 06.Ноя.2014


Rambler's Top100

Партнёры:

Сборник статей

Закон Ньютона - основа теоретического изучения движения небесных тел.

Законы механики и закон тяготения, установленные Ньютоном, не только объясняли наблюдаемое движение планет, но и открывали перед астрономией совершенно новые возможности. Были заложены основы небесной механики - науки, изучающей движение нбесных тел.
Раньше лишь старались на основании наблюдаемых перемещений небесных тел на небе понять их действительные движения с помощью какой-либо геометрической картины. Изучение движений носило, таким образом, геометрический и описательный характер.
После открытия всемирного тяготения задача о движениях небесных тел стала задачей о движениях материальных тел под действием сил взаимного притяжения. В соответствии с законом тяготения и со вторым законом механики Ньютона (см.§3) силы притяжения, действующие на тела, и возникающие при этом ускорения тел связаны определенными соотношениями. Эти соотношения представляют собой уравнения, называемые в высшей математике дифференциальными. Таким образом, появилась возможность изучать движения тех или иных небесных тел путем анализа их уравнений движения.
Одна из самых простых задач, но вместе с тем весьма важная в небесной механике - это задача о движении двух небесных тел, рассматриваемых как материальные точки, которые притягивают друг друга по закону Ньютона. Её называют в небесной механике задачей двух тел. Эта задача была решена полностью еще самим Ньютоном.
На рис. 19 изображен силовой центр О, притягивающий по закону Ньютона как материальная точка с массой М, и тело Р, движущееся под действием притяженя силового центра О.

Сила, с которой О притягивает Р, равна
F=f((Mm)/r2),
где r - расстояние между О и Р, m- масса Р и f-постоянная тяготения. Величина fM определяет "абсолютную силу центра" (по выражению Ньютона).
Пусть в некоторый момент времени to, который мы назовем начальным моментом, тело Р занимает положение Рo. Дальнейшее движение тела завимит от скорости, которую оно имеет в начальный момент. Пусть эта начальная скоростьравна vo и направлена так, как указано на рис. 19. Если бы никакая сила на тело Р не действовала, то оно продолжало бы двигаться равномерно и прямолинейно с той же скоростью vo и за малый промежуток времени Δt прошло бы отрезок РоА1.Но сила притяжения О отклоняет тело от прямолинейного пути, и за это время оно опишет малую дугу РоР1. Отрезок Р1А1 характеризует отклонение от прямолинейного пути, и длинна его связана со значением силы притяжения. В задаче по определению силы по заданному движению тела дуга РоР1 и отрезок Р1А1 были известны и надо было определить по длинне этого отрезка силу. В рассматриваемой же задаче дана сила и надо определить отрезок Р1А1 и затем положение тела Р на кривой по величине этой силы. Так как ускорение, т.е. изменение скорости тела Р в результате притяжения О, известно, то можно определить и скорость, которую тело будет иметь, прийдя в точку Р1. Рассуждая аналогичным образом, можно найти найти положение тела Р1 через следующий промежуток времени Δt и т.д.
Таким образом можно построить точки Р1Р2 и т.д., которые определяют путь тела Р.
Характер движения тела будет изменяться, если менять начальную скорость vo* которая больше vo. За промежуток времени Δt тело пройдет, имея эту скорость, отрезок РоА1*, который будет больше отрезка РоА1* .

Но отклонение от прямолинейного движения будут одинаковы в обоих случаях, поскольку действующая сила со стороны О сила будет одна и та же. Поэтому если малые дуги РоР1 и РоР*1 обозначают действительные перемещения тела в обоих случаях, то отрезки Р1А1 и Р*1А*1 должны быть равными. Таким образом, при увеличении начальной скорости искривлене траектории как это видно на рис.20, уменьшается.
Ньютон показал, что если начальная скорость (для простоты будем считать, что vo перпендикуляна РоО) не превосходит величины √2fM/ro (где fM "абсолютная сила центра" и ro- начальное расстояние), то тело Р будет описывать эллипс с фокусом в О. При небольших начальных скоростях эллипс будет сильно вытянут вдоль прямой РоО, а начальная точка Ро будет афелием.

При увеличении начальной скорости размеры эллипса будут увеличиваться и будет также период обращения по этому эллипсу.
Сначала с увеличением скорости эллипс будет скорее расширяться, чем удлиняться, и становиться все более округлым. При начальной скорости vo=√fM/ro кривая будет окружностью. Такая скорость называется круговой.
При дальнейшем увеличении начальной скорости эллипс будет уже быстрее удлиняться, чем расширяться. Его большая полуось и максимальное расстояние, на которое Р удаляется от О, будут возрастать все быстрее и быстрее. При vo=√(2fM/ro) кривая перестанет быть замкнутой. Большая полуось эллипса увеличиваеться до бесконечности. Начальная скорость будет уже настолько большой, что притяжение центра О оказывается не в состоянии возвратить тело Р назад, и оно навсегда удалится от О. Траектория движения, как показывает Ньютон, будет параболой.На рис. 22 нанесена ветвь параболы (средняя кривая), по которой тело Р уйдет бесконечно далеко и уже не возвратится.

(Другая ветвь параболы изображена прерывистой линией.) Скорость vo=√(2fM/ro) называется критической или параболической.
При vo>√(2fM/ro) тело Р более не возвратится назад к О. Оно будет двигаться, как показывает Ньютон, также по незамкнутой кривой - гиперболе (крайняя кривая на рис. 22). Чем больше начальная скорость vo, тем эта гипербола будет меньше изогнутой, тем быстрее тело Р будет удаляться от О.
Эллипсы, параболы и гиперболы изучались как геометрические фигуры еще античными математиками. Эти кривые называют также коническими сечениями, так как они получаются при сечении конуса различными плоскостями.
Таким образом, Ньютон показал, что движение тела Р вокруг притягивающего центра может происходить только по коническому сечению: по эллипсу (замкнутой кривой), если его начальная скорость не превосходит критической, по параболе или гиперболе (разомкнутым кривым), если начальная скорость равна или больше критической. В том частном случае, когда начальная скорость направлена перпендикулярно к РоО и ее величина точно равна √(2fM/ro), Р будет двигаться вокруг О по кругу. Если же начальная скорость Р равна нулю, то Р будет попросту падать на О, двигаясь под влиянием притяжения к О, по прямой РО. По мере приближения Р к О сила притяжения, а вместе с тем и ускорение Р, будут увеличиваться.
Для всех трех типов движения (эллиптического, параболического, гиперболического) имеет место весьма важное соотношение между скоростью v тела Р в любой момент времени и расстоянием r между Р и силовым центром О в этот момент:
v2=2 ((fM)/r)+h,
где h- постоянная для данной орбиты величина. Если нам даны одновременно и скорость тела v1, и его расстояние r1 от О в какой- либо момент времени t1, то
h= v12- 2((fM)/r1), и мы следовательно, найдем значение h, соответствующее данному движению. Затем можно определить скорость этого тела v2 для любого другого момента t2 с помощью соотношения (*), как только станет известным расстояние r2 в момент t2
Приведенное соотношение (*) носит название интеграла энергии, и оно выражает тот факт, что полная энергия тела Р в его движении относительно О остается всегда неизменной. Действительно, потенциальная энергия тела Р с массой m, находящегося на расстоянии r от притягивающего по закону Ньютона центра О, равна
En=-f((Mm)/r).
Она равна по модулю работе, которая требуется для удаления тела Р из даного положения на бесконечно далекое расстояние от О. Знак минус означает, что такая работа может быть выполнена не за счет силы тяготения Р к О (эта сила не может удалить тело Р сколь угодно далеко от О),а за счет внешних сил, преодолевающих силу тяготения. Потенциальная энергия увеличивается с ростом расстояния r и достигает максимума, равного нулю, когда Р находится бесконечно далеко от О.
Кинетическая энергия тела Р, движущегося со скоростью v, равна
Eк=(mv)2/2.
Полная энергия тела Е равна сумме потенциальной и кинетической энергии
E=(m/2)(v2-2(fM)/r).
Приняв Е постоянной величине и разделив правую часть написанной формулы на m/2, мы и получим соотношение (*). Для эллиптического движения скорость в начальной момент сравнительно мала, и постоянная h, называемая постоянной энергии и вычисляемая по формуле (**), отрицательна; Для параболического движения vo2=2(fM)/r и, следовательно, h=0; для движения по гиперболе постоянная h положительна.
Между периодом обращения Т небесного тела, большой полуосью орбиты а и массой силового центра М существует важная зависимость
T2=(4π2a3)/(fM).
Эта зависимость приводит к третьему закону Кеплера (именно таким путем Ньютон и вывел этот закон из своих теорем). С другой стороны, мы получаем возможность сравнивать массы силовых центров, вокруг которых обращаются небесные тела.
Рассмотрим движение Земли вокруг Солнца и Луны вокруг Земли. Если обозначить через Т1, Т2 периоды обращения Земли и Луны, через а1, а2 - среднее расстояния Земли от Солнца и Луны от Земли, а через М, m- массы Солца и Земли, то
T21=(4π2a31)/(fM), T22=(4π2a32)/(fM).
и
T21/T22= (a31/a32) ∙(m/M),
откуда
m/M= (T21/T22) ∙ (a32/a31).
Подставляя следующие (приближенные) значения: Т1= 365 суток, Т2=27 суток, а2= 384 000 км, а1= 150 ∙ 106 км, получим
m/M = (3652/272) ∙ (384 0003/150 000 0003) ≈ 1/330 000.
Точно так же можно сравнить массы Солнца и любой планеты, у которой имеются спутники, или массы двух планет, имеющих спутников. Ньютон определил таким путем массы Юпитера и Сатурна, спутники которых в то время были уже известны. Оказалось, что масса примерно в 1000 раз и масса Сатурна в 3000 раз меньше массы Солнца.
Эти первые определения масс небесных тел показали, что массы планет очень малы по сравнению с массой Солнца. При исследовании движений планет вокруг Солнца и спутников вокруг планет можно применять результаты решения рассмотренной выше задачи двух тел, принимая в одном случае Солнце, а в другом случае планету за силовой центр. Однако все же задача о движении какой либо планеты вокруг Солнца отличается от рассморенной задачи о движении вокруг силового центра. Действительно, мы считали силовой центр неподвижным, и, следовательно , не учитывали притяжение самого силового центра данным телом. Между тем, согласно третьему закону Ньютона, каждая планета должна притягивать Солнце, и под влиянием притяжения планет Солнце должно перемещаться.
Рассмотрим планету Р и Солце S, притягивающие друг друга по закону Ньютона

Если их массы равны m и М, то сила взаимного притяжения между ними равна
F= f(Mm/r2),
где r- расстояние PS. Солнце S сообщает планете ускорение WP=f(M/r2), а планета, притягивающая S с такой же силой, сообщает ему ускорение WS=f(m/r2). Ускорение Солнца S во столько же раз меньше ускорения планеты Р, во сколько раз масса S больше массы Р. Очевидно, ускорение Солнца очень мало, но все же оно существует.
Рассмотрим движение планеты Р относительно Солнца S, которое видит наблюдатель, находящийся на S. Относительное ускорение планеты Р будет равно сумме ускорений Wp и WS:
W= WS+ WP=f((M+m)/r)2.
Следовательно, если рассматривать движение Р вокруг S как вокруг неподвижного силового центра, то ускорение от Р к S будет такое, какое создает притягивающее тело с массой М+ m. Коэффициент, определяющий "абсолютную силу центра", будет равен f(M+m). Все формулы, определяющие критическую скорость, период обращения и др., выводимые для движения вокруг силового центра, астаются справедливыми с новым значением " абсолютной силы центра". Если Р обращается вокруг S по эллипсу, то
T2=((4π2a3)/(f(M+m)).
Если бы несколько тел с массами m1, m2... обращались вокруг неподвижного силового центра с массой М по эллипсам, то для них всех Т2~ a2/fM и квадраты периодов обращения относились бы точно, как кубы больших полуосей орбит (третий закон Кеплера). Но если рассматриваются движения этих тел вокруг одного тела S (например, движения нескольких планет вокруг Солнца) с периодами Т1, Т2, ... и большими полуосями орбит а1 , а2, . ..., то
T12= (4π2a13) /f (M+m1) ; T22=(4π2a23) / f(M+m2); . . .
и T12 : T22 : . . . = a13/M+m1 : a23/M+m2 . . . .
Эта зависимость показывает, что квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца не относятся точно, как кубы больших полуосей их эллиптических орбит. Таким образом, строго говоря, третий закон Кеплера не удовлетворяется. Но так как массы планет очень малы по сравнения с массой Солнца, т.е. (M+m1 : M+m2 : . . . ≈ 1, то и a13/ T12 ≈ a23/ T22≈ . . . Третий закон Кеплера удовлетворяется таким образом почти точно.
То движение, которое мы рассмотрели, является относительным движением одного небесного тела вокруг другого. Но если наблюдать со стороны, с некоторого неподвижного пункта, то тогда мы увидим, что и Р и О будут находиться в движении под влиянием взаимных ускорений. Ньютон показывает, что в покое (или в состоянии равномерногои прямолинейного движения) будет находится центр инерции (или центр масс) О и Р, сами же тела будут двигаться вокруг этого центра масс. Их орбиты будут подобны орбите Р в е его движении вокруг О.
Если масса М центра О очень велика по сравнению с массой m тела Р, то ускорение, сообщаемое телу О телом Р, очень незначительно, а центр масс О и Р практически совпадает с О. Тогда можно считать, что О неподвижно, а Р движется вокруг неподвижного центра.
Рассмотрим, например, движение Земли вокруг Солнца. Так как масса Земли составляет лишь 1/330 000 массы Солнца, то центр масс этих двух тел расположен на расстоянии 150 000 000/330 000 ≈ 500 км от центра Солнца. Таким образом, центр Солнца описывает вокруг центра масс Солнца и Земли эллипс с большой полуосью, равной примерно 500 км. Эта величина составляет лишь около 1/2800 диаметра Солнца, поскольку диаметр Солнца равен 1,4 млн. км. По сравнению с размерами Солнца и расстоянием между Солцем и Землей такие колебания положения Солнца ничтожны, так что Солнце практически неподвижно.
Однако при вычислении периода обращения Земли вокруг Солнца учет массы Земли необходим. Если вычислить период обращения Земли по формулам T2=(4π2a3)/(fM) и T2=(4π2a3)/(f(M+m)), то получим результаты, отличающиеся примерно на 100 секунд. Это вполне заметная величина.




При любом использовании материалов сайта, гиперссылка (hyperlink) на http://astro.wx1.ru/ обязательна.
Кравцов Виктор © 2007-2010