Главная Статьи Новости Обратная связь Форум                              Каталог статей 1   Каталог статей 2

 

Навигация

Случайная статья

Фазы Луны

19:21 15.Окт.2014

21:57 23.Окт.2014

02:40 31.Окт.2014

22:24 06.Ноя.2014


Rambler's Top100

Партнёры:

Сборник статей

Притяжение материальных тел различной формы.

Закон обратной пропорциональности силы притяжения квадрату расстояния был сформулирован Ньютоном для материальных частиц. Однако небесные тела — Солнце, Луна, планеты — не являются материальными частицами. Возникает естественный вопрос—можно ли изучать движение этих тел при помощи закона Ньютона? По какому закону изменяется с расстоянием притяжение материальных тел?
Рассмотрим два материальных тела А к В, размеры которых очень малы по сравнению с расстоянием между ними. Разобьем мысленно тела А и В на большое число очень маленьких частей, которые назовем «частицами». Частицы тел притягивают друг друга по закону Ньютона, и общее притяжение тел А и В складывается из взаимных притяжений отдельных частиц. Однако все частицы тела А находятся практически на одном и том же расстоянии от частиц тела В. Поэтому общая результирующая сила притяжении частиц тел А и В будет обратно пропорциональна квадрату расстояния между этими телами. Таким образом, закон Ньютона остается справедливым для материальных тел, размеры которых очень малы по сравнению с взаимным расстоянием. Такие тела в механике называют материальными точками. Иногда считают, что материальные точки — это тела небольших размеров. Однако в некоторых задачах громадное Солнце и планеты тоже можно считать материальными точками. В самом деле, рассмотрим задачу о движении планет вокруг Солнца. В этом случае расстояния планет от Солнца велики по сравнению с их размерами (расстояние от Земли до Солнца приблизительно в 100 раз больше диаметра Солнца и в 10000 раз больше диаметра Земли). Поэтому можно считать без большой ошибки, что Солнце и планеты притягивают друг друга как материальные точки.
Однако далеко не во всех случаях расстояние между притягивающими телами велико по сравнению с их размерами.
Рассмотрим, например, притяжение Землей небольшого материального тела, находящегося вблизи ее поверхности. В этом случае само понятие расстояния между Землей и этим телом становится неопределенным: можно говорить о расстоянии до ближайшей точки поверхности Земли, до центра Земли и т. д. Если мысленно разбить Землю на небольшие частицы с равными массами, то эти частицы будут притягивать взятое нами тело с разными силами.
Какому же закону будет подчиняться суммарное притяжение Земли, если каждая частица Земли притягивает обратно пропорционально квадрату расстояния тела до нее? Когда мы сравнивали силу тяжести у поверхности Земли и силу притяжения Луны к Земле, мы считали, что Земля притягивает все материальные тела как вблизи ее поверхности, так и на большом расстоянии, с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра Земли. Нет ли здесь какого-либо противоречия?
Этот вопрос впервые поставил и разрешил Ньютон. Он доказал теорему, согласно которой однородный шар, состоящий из частиц, притягивающих обратно пропорционально квадрату расстояния, притягивает к себе другие материальные тела и притягивается ими так же, как одна материальная частица, помещенная в центре шара и сосредоточившая в себе всю массу шара. Эта замечательная теорема остается справедливой и для неоднородного шара, состоящего из сферических слоев равной плотности, т. е, шара со сферическим распределением плотностей.
Данный результат применим к Солнцу, Земле и другим планетам, так как все они имеют почти шарообразную форму и плотность вещества внутри них определяется прежде всего расстоянием до их центров. Таким образом, Солнце и планеты притягивают друг друга как материальные точки по двум дричинам:
1) расстояние между ними очень велико по сравнению с их размерами;
2) по своей форме они близки к шарам, и распределение плотности веществя внутри них в основном сферическое.
Разумеется, не все тела имеют шарообразную форму, и не во всех интересующих нас случаях расстояния между притягивающими телами велики по сравнению с их размерами. В этом случае закон изменения силы с расстоянием будет более сложным.
Рассмотрим, например, притяжение частицы Р материальным кольцом массы М и радиуса а, толщина которого очень мала по сравнению с радиусом


Пусть частица Р находится на расстоянии r от центра кольца О и на расстоянии z от плоскости кольца. Ближайшие к точке Р частицы кольца будут притягивать ее сильнее, чем далекие. Поэтому направление силы притяжения кольца F не будет проходить через центр кольца, а сместится в сторону половины кольца, ближайшей к точке Р. Для того чтобы найти величину F, поступают следующим образом. Разбивают кольцо на небольшие («элементарные») частицы, каждая из которых притягивает точку Р по закону Ньютона. Складывая все эти элементарные силы, мы получим силу притяжения всего кольца.
Расчеты, сделанные описанным путём, показывают что силу притяжения кольцом частицы Р с массой, равной единице, расположенной сравнительно далеко от этого кольца, можно приближенно выразить формулой
F=fM((1/r2)+(3/4) ∙ (a2/r4) - (9/4) ∙ (a2z2/r6))
Из этой формулы видно, что притяжение кольца отличается от притяжения шара той же массы с центром в точке О на величину
fM((3/4)(a2/r4)-(9/4)((a2z2)/(r6 )),
которая изменяеться сложным образом в зависимости от расстояния r и от положения частицы P относительно плоскости кольца.
Особый интерес представляет закон притяжения эллипсоида вращения. Так мы называем фигуру, которую можно получить, вращая эллипс вокруг его малой оси. В такой фигуре, проходящей через ось LQ, представляет собой эллипс с полуосями OL и OE, а любое сечение плоскостью, перпендикулярной LQ, есть окружность. Ось LQ называют осьювращения сфероида, сечение EK- экваториальным сечением, его радиус OE-экваториальным радиусом,расстояние OL-полярным радиусом. Величина (OE-OL)/OE, т. е. разность между экваториальным и полярным радиусами, называется сжатием эллипсоида. Эллипсоид вращения с малым сжатием (мало отличающийся по форме от шара ) часто называют сфероидом.
Односторонний сфероид обладает по сравнению с однородным шаром радиуса OL избытком массы сосредоточенной главным образом вдоль экватора.

Притяжение этой избыточной массы вдоль экватора должно напоминать притяжение кольца. Поэтому различие притяжения шара и сфероида с одинаковыми массами должно быть примерно таким же, как и в случае шара и кольца. Сила будет изменяться не точно обратно пропорцирнально квадрату расстояния от центра сфероида. Направление ее не проходит точно через центр, а смещено в сторону ближайшей к притягивающей точке половине экваториального сечения сфероида; правда, поскольку сфероид симметричен относительно оси вращения, сила притяжения будет проходить через эту ось.
Можно вычислить выражение для силы притяжения однородного сфероида. Если частица с массой m1=1 расположена на расстоянии r от центра сфероида, имеющего сжатие ε, и на расстоянии z от его экваториальной плоскости, то с точностью до членов 1-го порядка относительно ε получим
F=fM [1/r2+((3/5)(a2/r4)-9/5((a2z2)/r6))ε],
где М - масса сфероида, a - его экваториальный радиус.
То обстоятельство, что сила, с которой сфероид притягивает (и притягивается), не проходит через его центр, позволяет сделать следующий важный вывод: материальная частица Р, действуя на сфероид с силой F , может сообщать ему не только поступательное перемещение (определяемое перемещением центра сфероида О), но и стремится повернуть ось вращения сфероида LQ.

Частица Р притягивает как центр сфероида, так и его экваториальные "вздутия". Но притяжение ближайшей части сфероида больше, чем удаленной, потому что РК < PE; частица Р не только притягивает сфероид, но и стремится повернуть его так, чтобы его экваториальная плоскость ЕК совпала с направлнием на частицу ОР.
Рассматривая выражения для силы притяжения кольца и сфероида, можно заметить следующее. С удалением притягиваемой частицы ( с уменьшением отношения а/r ) различие между притяжением этих тел и притяжением шара будет уменьшаться, и если r очень велико по сравнению с а, кольцо или сфероид будут притягивать практически так же, как и шар. Это справедливо, как мы уже видели, для тел любой формы. На очень большом расстоянии все они притягивают (и притягиваются) как шары или, вернее, как материальные частицы, обладающие такой же массой и помещенные в центрах масс этих тел. Мы остановились более подробно на притяжении эллипсоидов потому, что Земля и другие планеты близки по форме к слегка сжатым эллипсоидам вращения, т. е. к сфероидам. Например, у Земли полярный радиус меньше экваториального на 21 км, а у Юпитера-- на 9500 км. Соответственно этому сжатие Земли составляет окло 1/300, а Юпитера -1/16. Самое большое сжатие из планет Солнечной системы имеет Сатурн около1/11.
Тем не менее влияние сжатия планет на силу притяжения планет Солнцем очень мало. Можно подсчитать, что притяжение Солнцем Земли отличается от притяжения шара с массой, равной земной, не более чем на 1/150 000 000 000 долю. Поэтому при рассмотрении движения планет вокруг Солнца можно полностью принебрегать их сжатием (т. е. принимать их за материальные точки). Однако существует ряд задач, в которых приходится учитывать дополнительное притяжение планеты, вызванное отличием ее формы от сферической.


При любом использовании материалов сайта, гиперссылка (hyperlink) на http://astro.wx1.ru/ обязательна.
Кравцов Виктор © 2007-2010